Integral de una potencia

Integral de una potencia

Trigonometría… sustitución

En cálculo, y más generalmente en análisis matemático, la integración por partes o integración parcial es un proceso que encuentra la integral de un producto de funciones en términos de la integral del producto de su derivada y antiderivada. Se utiliza con frecuencia para transformar la antiderivada de un producto de funciones en una antiderivada para la que se puede encontrar más fácilmente una solución. La regla puede considerarse como una versión integral de la regla del producto de la diferenciación.
El matemático Brook Taylor descubrió la integración por partes, publicando la idea por primera vez en 1715[1][2] Existen formulaciones más generales de la integración por partes para las integrales de Riemann-Stieltjes y Lebesgue-Stieltjes. El análogo discreto para las secuencias se llama suma por partes.
Debe entenderse como una igualdad de funciones con una constante no especificada añadida a cada lado. Tomando la diferencia de cada lado entre dos valores x = a y x = b y aplicando el teorema fundamental del cálculo se obtiene la versión integral definida:

Antiderivada…

La regla de la potencia para las integrales nos permite encontrar las integrales indefinidas (y más tarde las definidas) de una variedad de funciones como polinomios, funciones que implican raíces, e incluso algunas funciones racionales. Si puedes escribirla con un exponente, probablemente puedas aplicar la regla de la potencia.
\N – (\N – comienzo {align} \displaystyle\int 2x^3 + 4x^2 \text{ dx} &= \displaystyle\int 2x^3\text{ dx} + \displaystyle\int 4x^2 \text{ dx} &= 2\displaystyle\int x^3\text{ dx} + 4\displaystyle\int x^2 \text{ dx}\pend})
\(inicio{alineación} &=2\a la izquierda(\dfrac{x^3+1}{3+1}\a la derecha) + 4\a la izquierda(\dfrac{x^2+1}{2+1}\a la derecha) + C\a =& 2\a la izquierda(\dfrac{x^4}{4}\a la derecha) + 4\a la izquierda(\dfrac{x^3}{3}\a la derecha) + C\a & = \bbox[border: 1px solid black; padding: 2px]{dfrac{x^4}{2} + \dfrac{4x^3}{3} + C}\\nfinal{align}\n)
Este es un poco diferente. Tenemos un \(x\) por sí mismo y una constante. Para el \(x\) por sí mismo, recuerde que el exponente es 1. Para la constante, recuerde que la integral de una constante es sólo la constante multiplicada por la variable. Por ejemplo, la integral de 2 respecto a \(x\) es \(2x\).

Integral de una potencia en línea

Al igual que con la diferenciación, hay algunas reglas básicas que podemos aplicar al integrar funciones. Si estás familiarizado con el material de las primeras páginas de esta sección, ya deberías estar cómodo con la idea de que la integración y la diferenciación son la inversa de la otra. Esto significa que cuando integramos una función, siempre podemos diferenciar el resultado para recuperar la función original. Por desgracia, lo contrario no es cierto. Una vez que diferenciamos una función, cualquier término constante en esa función simplemente desaparece, porque la derivada de cualquier término constante es cero. Esto es algo que debemos tener en cuenta cuando pensamos en cómo vamos a integrar una función, porque significa que nuestra respuesta siempre contendrá una constante de valor desconocido. A esta constante la llamamos constante de integración, C
Ya hemos hablado de la regla de la potencia para la integración en otra parte de esta sección. Esta regla es esencialmente la inversa de la regla de la potencia utilizada en la diferenciación, y nos da la integral indefinida de una variable elevada a alguna potencia. Para refrescar la memoria, la fórmula de la regla de la potencia de integración es la siguiente:

Calculadora de integración de la regla de potencia

En muchos casos es necesario calcular el consumo de energía de un aparato eléctrico o de un conjunto de aparatos, como en una vivienda. Por ejemplo, nosotros (o la compañía eléctrica) podemos querer calcular la cantidad de dinero que se debe por la electricidad consumida. En otro caso, podríamos necesitar determinar la energía necesaria para alimentar un componente o aparato durante un periodo de tiempo determinado. La última distinción es crucial: la energía utilizada por un circuito o componente es la integral de tiempo de la potencia eléctrica.
Recordemos que la potencia es el ritmo de trabajo -o el ritmo de consumo o producción de energía- y se mide en vatios (W). La potencia eléctrica en vatios producida por una corriente eléctrica I consistente en una carga de Q coulombs cada t segundos que pasa por una diferencia de potencial eléctrico (tensión) de V es [latex]\text{P} = \frac{text{QV}}{text{t}} = \text{IV}[/latex], donde Q es la carga eléctrica en coulombs, t es el tiempo en segundos, I es la corriente eléctrica en amperios, y V es el potencial eléctrico o tensión en voltios.